1 芝诺的时空:“万物静止”

毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580年—约前500)认为“万物皆数”,另一位古希腊哲学家赫拉克利特(Heraclitus,约公元前535年-前475年)则主张“万物皆流”。他的名言说“一个人不能两次同时踏进同一条河流”,认为万事万物是不断运动变化的,世界是“既存在又不存在”的。古希腊哲学家巴门尼德(Parmenides of Elea,约公元前515年~前5世纪中叶以后)与赫拉克利特的观点相反。巴门尼德认为“万物静止”,没有事物是变化的。巴门尼德认为世界上只有唯一的“存在”,这就是“一切皆一”的巴门尼德原理。既然世界只有唯一的存在,就不会有运动,世界是一个整体,“存在”是绝对静止的,运动是荒谬的。他的学生芝诺(Zeno of Elea,约公元前490年-约公元前425年)也是古希腊著名的数学家和哲学家,为了捍卫老师巴门尼德绝对静止的观点,提出四个悖论证明运动是不可能的。

芝诺认为,世上的各种变化并不真实,那只不过是我们的错觉而已。世界是一个不变和静止的整体。他完全否定变化和运动。芝诺也极力反对毕达哥拉斯“万物皆数”的主张,他实际上要攻击的是毕达哥拉斯“单位数”的概念。因为毕达哥拉斯认为“万物皆数”,就意味着所有事物都是可以用数表达的,这与古希腊哲学家德谟克利特的“原子论”思想一脉相承。德谟克利特认为,万物由原子构成,原子是不可再分的物质微粒。为了反驳“万物皆流”和“万物皆数”或者“原子论”这几个观点,芝诺提出了“无限”的概念。芝诺采用的是“反证法”,就是我们熟知的悖论。悖论是从对立于自己主张的观点出发,证明它的谬误,最终证明自己的主张是正确的。悖论是证明自己观点的一种逻辑思维方式,必须前后吻合,不得自相矛盾。

为了证明自己的主张,芝诺首先证明对立主张的谬误,只要证明对立的主张是错误的,那么就自然而然地证明了自己的主张是正确的。赫拉克利特主张“万物皆流”,世上万物都在时间和空间中不断运动变化。这里有两层意思:

第一层意思,说事物存在,就是说明它们都拥有一定的大小,占据一定的空间。按照德谟克利特的主张,任何一个事物想要存在,就必须拥有它自身的大小,并且都是由最小的原子构成的。同时,毕达哥拉斯提出“万物皆数”,所有事物都可以用数字证明它们的存在,就是说原子的存在是可数的。事物在空间存在,就有时间,有时间就可以数数。所以,万物皆数。

第二层意思,说世上存在的事物都在变化,这就意味着它们的大小也可以发生变化,即空间可以随着时间发生变化。那么,让我们想象着来分割它们。如果把事物和它们所在的空间分成一半,一半再分成一半,就这样无止境地分割下去,只要时间足够长,空间无限可分,最后只能得出“事物没有大小”的结论,即只有无限时间,没有空间存在。由此可见,赫拉克利特“万物皆流”的主张里包含着不可能共同存在的两层意思,这是自相矛盾的,所以“万物静止”,没有运动。

从一般的常识上讲,否定世界的变化和运动,都是极其荒谬的主张,但芝诺说:“运动是不可能的。因为所有运动的物体在到达目标之前,首先要到达其一半的地点,而在到达其一半地点之前,还要到达其一半的一半。如果依此类推,运动就连起点也不会存在。”这就是著名的二分法悖论。亚里士多德在他的《物理学》里记载了芝诺的四个悖论,其中“二分悖论”“阿喀琉斯永远追不上乌龟”和“飞矢不动”是人们经常谈论的。

芝诺在其第一论“二分悖论”中所说的实际上是这样一个论证:一个赛跑者在到达终点以前,必须先到达跑程的中点,要跑完这段路程需要一段有限的时间,而他要跑至剩下的距离的中点,又需要一段有限的时间。上面说的这种情况可以永远重复下去。于是,在他的跑程中就有无限个阶段,而每一阶段都需要一个有限的时间,但无限个有限时间的和是无限的。所以,赛跑者永远不能到达他的目的地,因为他连动都没有!

第二论“阿喀琉斯永远追不上乌龟”的内容是,在赛跑的赛程中,慢者永远不会被快者追上,因为追者必须先到达被追者刚刚离开的地方,从而慢者总是或多或少在其前面。“阿喀琉斯永远追不上乌龟”所要表达的是,所谓万物是存在的,它们就一定拥有空间,即大小,而事物有大小就可以分割成若干等分。所谓运动,变化的时间也可以分割成若干等分。乌龟与阿喀琉斯之间的距离毕竟是“存在”的事物,一定有空间,因此这个(空间)距离也应该拥有一定的大小,既然它有自身的大小,那么我们就可以对(空间)它进行分割。因此,乌龟和阿喀琉斯之间的空间(距离)可以用无限的时间分割为无数个空间(间距),那就意味着阿喀琉斯和乌龟之间存在着没完没了的无数个时间和空间,所以阿喀琉斯永远追不上乌龟。因此,“万物皆流:存在的事物发生变化”这个主张是前后矛盾的。最后得出的结论就是,世上存在的事物是一成不变的,万物静止。

用数学的观点,芝诺认为无穷级数:1/2+1/4+1/8+......=无穷大

用现代数学的极限的观点,1/2+1/4+1/8+......=1

极限的几何直觉

前两个悖论设想的基本前提是时间和空间无限可分的观点,而第三论“飞矢不动”完全违反人类直觉。“飞矢不动”,即飞行的箭是静止不动的。如果一物处于始终如一的状态之中,它要么保持持续的运动,要么保持持续的静止,而运动的东西总是处于此时此刻(时间分界点)的状态中,所以运动的箭是不动的。“飞矢不动”表达了空间和时间是由不可分割的无限小元素构成的思想。如果认同世上万物是不断变化的主张,那么箭和标靶之间的距离就可以无限分割。芝诺论证,如果你认为空间是由无限个连接点所构成的,所以时间也应是连续的瞬间的无限集合。一支飞着的箭,如果把箭和标靶之间的距离(时间和空间)无限分割下去,那么等于说,箭在那无限分割的每个时间和空间里是静止不动的。而且,箭要通过的时间和空间也无限多,所以箭头永远到不了标靶上面。说到底,箭是不运动的。

↑ 可以把箭和标靶之间的距离(空间)作为一个事物进行分割,把这个距离一直分割下去,分割下去的结果是,在无限时间内箭和标靶之间的距离(空间)不存在了,是“无”。空间不存在了,但时间是无限长的。所以,射出去的箭是静止不动的。

在“飞矢不动”的悖论中,如果按照“万物皆流”的运动主张,我们可以把箭和标靶之间的距离(空间)作为一个事物进行分割,把这个距离一直分割下去,分割下去的结果是,在无限时间内箭和标靶之间的距离(空间)不存在了,是“无”。空间不存在了,但时间是无限长的!所以说,射出去的箭是静止不动的。这样,用“万物皆流”的“存在”(空间)和“变化”(时间)同时存在的主张去看“射出去的箭在运动”,就会产生矛盾。所以,应该说万物静止,“世上存在的所有事物都是一成不变的”!

“飞矢不动”混淆了瞬间(短的时间)与时刻(时间的分界点)的概念:

瞬间:表示极短的时间,是一个时间段,再短也是一段时间,时间是连续的。

时刻:是时间长度划分的节点,对应时间轴上的一个点。一般用时刻来描述不固定的时间分割点。时刻是不连续的。对于固定的时间分割,常用秒,时、年做单位来表示。

一个瞬间可以包含无数个时刻,任意两个时刻之间仍包含一个段时间。

用微积分的观点,利用无穷小和极限的概念,瞬时速度是可以计算的。

芝诺悖论的提出,牵动了人类科学文明史上一些最伟大的头脑,从古希腊的亚里士多德时代到19世纪末的两千多年间,一直拷问着地球上最聪明的数学家们。直到19世纪下半叶,数学家们重新研究芝诺的悖论,才发现它们与数学中的连续、无穷集合、极限等概念紧密相关。英国哲学家罗素说:“芝诺被认为是无限哲学的创立者。他发明了四个悖论,都极其精妙和深刻,用来证明运动是不可能的:阿喀琉斯永远不可能追上乌龟,飞行的箭实际上是静止的。事实上,芝诺关心的是三个问题,每个都用运动来表达,但每个都比运动更抽象,而适合于纯粹的算术处理,这就是无穷小、无穷大和连续的问题。在亚里士多德驳斥之后,后来经过哲学家们的努力,这些论点又恢复了,并被一位德国教授用来作为数学复兴的基础。他可能做梦也没有想过自己和芝诺之间有什么联系。”他所说的德国教授是康托尔,集合论的创始人。

芝诺悖论之所以“成功”,隐藏着这样一个前提,即时间和空间是连续的,是无限可分的!时间和空间可以无限分割,这是人们直觉和感受到的思维范式。在数学上,我们已经知道,无限次的计算可以是在有限的范围内的,极限概念的提出从分析的角度解决了芝诺的悖论。而另一个人们想当然的思维范式是连续的时空。自量子革命以来,人们开始认识到,空间不一定能够无限分割下去,量子效应使得空间和时间的连续性丧失了,芝诺的时空连续并无限的思维前提是不成立的!量子论告诉我们,“无限分割”的概念是一种数学上的理想,不可能在现实中实现,一切都是不连续的,而是量子化,一份一份的。

无穷小与0:按极限的观点,无穷小是无限接近于0,但不等于0。

2 无穷的烦恼:“潜无穷”与“实无穷”

芝诺悖论的争论在人类文明史中是从三条线索展开的,哲学、数学和物理。自古希腊以来,哲学家、神学家和数学家就已经开始努力探索无穷这个观念和它的深刻含义。什么是无穷?无穷就是没有尽头。什么是无限?无限就是没完没了。数学的线索是从两条路径展开的,第一个是贯穿于整个数学发展史上的无穷大和无穷小之间纠缠不清的抽象争论,最终由19世纪的集合论画上了句号;第二种是考察数学历史上围绕表示连续所发生的争论,连续意味着光滑的流动或运动和现实世界过程中没有空隙的相继移位。我们知道微积分的基础就是连续性和极限。微积分的极限理论完美地解决了芝诺悖论。第三种是物理的,直到量子力学出现,人们才理解世界并不是连续的,而是离散的。

一般而言,古希腊文化不承认“无限”或“无穷”的概念。毕达哥拉斯学派认为有限是善、无限是恶;欧几里得的《几何原本》中的“直线”只是“线段”,线段可按需要加以延伸,无穷延伸的直线是没有意义的。“无穷”的问题在19世纪前还没有人能用一种严密的方法来回答。法国哲学家和数学家笛卡尔就说过:“无穷可以被认知,但不能被理解。”

从古希腊开始,数学家们就把无穷分为“实无穷”和“潜无穷”。我们知道,自然数列“1,2,3,…,n,…”可以被看成一个永远在增长的没完没了的数列,这叫作“潜无穷”;也可以理解成为一个完成了的整体性无限集合,而一切自然数都在其内,这叫作“实无穷”。“实无穷”就是说“无穷”是实在的,这是柏拉图的观点。他的学生亚里士多德不承认“实无穷”,不认为线段是由无穷个点组成,但承认“潜无穷”,认为“无穷”只是“潜在”地存在,无限只是表现为变化发展的过程,所以叫“潜无穷”。“潜无穷”的认识是,能够“接近”,但实际上不必达到。

亚里士多德对“实无穷”和“潜无穷”的本体论划分,被基督教的教会变成教义:只有上帝才是“实无穷”,他所创造的其他东西都不可能是。直到17世纪,伽利略在他写的《两门新科学的对话》中通过一个方法嘲弄了这种看法。他说,当一条线段是直的时候,你声称它只是潜在包含无穷多个部分,但如果你把线段弯成一个圆时,你却把线段所包含的无穷多个部分变成了实在的东西。

亚里士多德使用“潜无穷”的概念暂时避免了人类与无穷大的直接交锋。在两千多年中,多数哲学家和科学家赞同亚里士多德的“潜无穷”观点。但是,潜无穷的思维范式也使微积分的发现耗费了1700年的时间,一个重要原因是亚里士多德的“潜无穷”概念把无穷大边缘化到一个形而上学的虚幻境界里。实际上,从公元5世纪开始,人们在求解复杂物体的面积体积、计算物体运动轨迹等具体问题时逐渐发展了穷竭法等技巧,最终发现了微积分。而微积分涉及极限和无穷小量,这就使得数学家们不可避免地要去处理实无穷。19世纪的数学家抛弃了亚里士多德的“潜无穷”学说,主要是研究重点从几何无穷大转换到算术无穷大,数学家所面临的最重要的任务似乎是构建一个无穷大的理论。

在19世纪,人们发现,为了使微积分的核心基础极限理论得到完善,必须明确定义无理数概念,而无理数的存在性又必须以实无穷为前提。为了定义无理数,德国数学家戴德金和康托尔引入了无穷集合。无穷集合虽然有悖常理,但符合数学逻辑。康托尔通过集合、幂集、一一对应等几个基本的定义得到一种无穷大数类,他称之为超限数。更进一步,康托尔还发现存在不同的无穷大数类,这些数类之间有可能是以二次方的跳跃增加的。从直观上看,这些是不可思议、难以想象的。但是,从逻辑上讲,如果人们能够接受无理数的存在,那么无穷大和无穷小的存在同样是合理的。现在,无穷大量和无穷小量已经成为数学上的事实。

康托尔是公认的抽象集合论和超限数学之父。在19世纪晚期,他大胆始创“无穷数学理论”。康托尔尝试了计算无穷大,并获得成功。按照康托尔的说法,无限有三种,一是“绝对无限”,又称形而上学的无限,二是“物理无限”,三是“数学无限”。“绝对无限”可以联系到上帝概念,这始终为宗教界人士所赞赏。“物理无限”是指宇宙时空的无限性概念和时间与空间的无限可分割性质。康托尔把分析数学中使用的无限概念和自己始创的超穷基数与序数都归入数学无限范畴。

现代的观点是,只要没有逻辑矛盾,我们可以自由地使用一切无穷集合。现代数学的大厦就是建立在“实无穷”这种观点上的。20世纪30年代的一位数学史家说:“没有一个关于无穷大的相容的数学理论就不会有无理数的理论,没有无理数的理论就不会有任何形式的数学分析;没有了数学分析,现在数学的主要部分,包括几何和绝大部分的应用数学,将不复存在。”无穷或无限的数学符号为∞。无穷大符号:将8水平放成“∞”来表示。“无穷大”符号是在英国人沃利斯(John Wallis)1655年出版的论文《算术的无穷大》一书中首次使用的。

3 第一次数学危机:拒绝无理数

毕达哥拉斯提出的“万物皆数”的观点,既是错的,又是对的!说它是错的,是因为数是概念,不是实体,是物的数量特征在人的头脑中反映为数,而不是客观存在的数转化为物质实体。毕达哥拉斯把客观世界中的事物关系弄反了。说它是对的,是因为这个错误的背后是人类认识上的一次飞跃,“万物皆数”使人类认识到数量关系在宇宙中的重要性。而“万物皆数”观点的破灭,同样是一个错误,错误在于,认为数不足以表达万事万物了。这个错误又是由于一个大的进步引起的,即无理数的发现。人们发现了无理数,又不敢承认它是数,这就是第一次数学危机。

在希腊人的世界中,音乐与数学和哲学具有同等的重要性。毕达哥拉斯学派认为,数字比率支配着音乐和弦定律,乃至整个宇宙。这成为毕达哥拉斯学派的固有观念,是他们的世界观的基石。所以,希腊学者坚信整个宇宙都是根据来自分数的音乐谐声规律构建的。因此,有理数支配着希腊人的世界观。我们知道,“有理数”指的是所有能表示成整数或两个整数之比的数(也就是分数)。“有理的”来自“比率”的意思。毕达哥拉斯定理提出后,其学派中的一个成员考虑了一个问题:边长为1的正方形对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数表示,而只能用一个新数来表示。这个发现导致了数学史上第一个无理数“√2”的诞生。新发现的数由于和之前的所谓“合理存在的数”——有理数——在学派内部形成了对立,所以被称作无理数。无理数,是指不能写成两个整数之比的数,即“不可通约的量”,这些数被证明不能用有限量来表达。这个简单的数学事实的发现直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰和思维范式,冲击了当时希腊人持有的“一切量都可以用有理数表示”的信念,在当时导致人们认识上的危机,从而引发了西方数学史上一场大的风波,史称“第一次数学危机”。

这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。约在公元前370年,柏拉图的学生攸多克萨斯(Eudoxus)纯粹用公理化方法创立了新的比例理论,微妙地处理了可公度和不可公度。两个几何线段,如果存在一个第三线段能同时量尽它们,就称这两个线段可通约,否则称为不可通约。只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制,所谓数学危机也就不复存在了。

自此以后,希腊人把几何看成了全部数学的基础,把数的研究隶属于形的研究,割裂了它们之间的密切关系。无理数的发现标志着数学和几何第一次真正分道扬镳。第一次数学危机表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示。反之,数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战,古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是,几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。这同时也反映出,直觉和经验不一定靠得住,而推理证明才是可靠的。从此,希腊人开始从“自明的”公理出发,经过演绎推理,由此建立几何学体系。

公元前4世纪和公元前3世纪,生活在亚历山大里亚的几何学教师欧几里得,把亚里士多德发明的形式逻辑三段论和几何学结合起来,用形式逻辑的方法把前人的成果总结成一个体系,写成了一本书,叫《几何原本》。《几何原本》太美了,使得其前的所有几何工作都被遗忘,人们只说欧几里得几何了。欧几里得建立了一个公理化的体系,以公理作为基础。这套公理化的方法也被希腊的科学家用到了对自然的研究上,最后在力学和天文学里取得了突出的成就。欧几里得几何成为精确演绎的典范。这是数学思想上的一次革命,是第一次数学危机的自然产物。这样做的最大不幸是,放弃了对无理数本身的研究,使算术和代数的发展受到很大的限制,基本理论十分薄弱。这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年。

实际上,可以这样说,毕达哥拉斯学派试图用数代替假想的连续几何量时碰到了困难,为解决困难最终产生了微积分。由于第一次数学危机,希腊数学走上完全不同的发展道路,形成了欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系,为世界数学做出了另一种杰出的贡献。在中国数学史上,中国的数学家从没清楚阐述过关于无理数的概念,一些西方数学史家认为中国数学更倾向于实用性,而弱于对抽象推理的表达;也有西方学者认为,中国语言本身的象形字,难以表达抽象的假设。总之,第一次数学危机的彻底解决,要等到19世纪70年代实数集的精确建立时才最终画上句号。

4 定义连续性:“刀切”拥挤的数轴

“芝诺悖论”引发的关于连续性的哲学问题中,柏拉图主义认为,数学上的连续性是精神的实在,而经验是对精神实在的认识。亚里士多德认为,当两个互相接触的物体各自的端点成为两者的共同端点时,就会出现连续的连接,连续统(直线)可以被分割,但不能被分割尽。这就是说,不能把线段无限地分割到最终变成“点集状态下”。他不承认连续直线由无穷多点组成的说法,从根本上反对“点组成连续统”的观点,认为一个真连续统没有点!

芝诺悖论涉及“点”的语义学表达:一个点有没有体积?如果体积是零,加起来岂不还是零?如果体积不是零,无穷的点加起来体积应该是无限大的?亚里士多德可能已经看到这个困难,所以坚决反对直线(或物体)由无穷多个点组成的看法。但是,正如伽利略指出的那样,由有穷的不可分的东西组成的东西,又怎能连续变化呢?

我们感官所感觉的运动乃是某种个别的,不可分割和无间断的东西,将运动分解为各个元素,其结果足以破坏我们决心保持的连续性。但是,为了与数类比的目的,直线必须被看作无限小的静止位置的次第相续,这恰恰与我们所想象的与静止完全相反的那种运动观念相冲突。这就是芝诺论证振振有词的理由。

一般来说,直觉上人们认为“连续性”的感觉和概念是不言而喻的,但数学上的“连续性”问题却要复杂得多。芝诺悖论导致了连续性的问题,而连续性与无理数的奥秘相关,与无穷大及无限细分密不可分。芝诺实际上想要表明连续性是不可能的。芝诺既不同意“实无穷”,也不认可“潜无穷”,这是他与亚里士多德的根本区别。

如果没有发现毕达哥拉斯定理,就不会发现无理数。无理数的发现在数学史上是极其重要的。在数学上,无理数就像芝诺的二分悖论一样,是试图表达和解释数轴上连续性的一个结果。二分悖论就是把一个连续的物理过程分解成一个无穷多步的离散过程。所以,二分悖论可以看成是历史上第一次企图在数学上表示连续性。无理数是有理数轴在技术上不连续的原因。无理数代表有理数轴上的缝隙或洞眼。通过这些缝隙,无穷大没完没了地闯进并搅乱了整洁的古希腊数学。

甚至直到18世纪,欧洲最好的数学家都还在坚持古希腊的选择,拒绝无理数。直到19世纪后期,人们发现,揭示无穷大或无穷小最直观的方法可以使用古希腊的一项数学遗产:数轴。德国数学家戴德金提出了无理数的一个严格理论或定义,而对实数在数轴上地位的最全面充分的处理来自康托尔。

人类对数的认识,经历了自然数、整数、分数、有理数、无理数和实数等阶段,这些数在数轴上都可以体现出来。数轴是规定了唯一的原点、唯一的正方向和唯一的单位长度的直线。所有的实数都可以用数轴上的点来表示,也可以用数轴来比较两个实数的大小。实数(R)包括自然数、整数、分数、有理数、无理数。

通过数轴可以把数和几何形状看成差不多一样的东西。数轴是一个威力无穷的工具。同时,它也是一个连续体,即一个结构或分布是连续的不可分割的实体和物体的理想连续统。通过数轴,可以完美体现芝诺悖论所要表达的内容。数学实体和实际物理空间之间的关系就是离散和连续的关系。

每个数对应一个点。数轴不仅包含所有的点,而且也决定了它们的顺序。所以,数完全可以由它们在数轴上相对其他数的位置来定义。根据定义,数轴是可以无限延伸的,是无穷密的,即任意两个点之间总是存在第三个点,它们都是相继排列或有序的。人们常说:“自然数无穷多,实数轴无限长。”

可以想象,尽管有理数稠密,但它们还是在实数轴上留下了“空隙”。也就是说,有些点不对应于任何有理数!数轴上0到1的有限区间不可想象地拥挤,非常稠密。这里不仅有无穷多个分数的无穷序列,还有无穷多个无理数。每个无理数只有用无限不循环的十进制数序列来表示。

1872年,德国数学家戴德金在他的划时代论文《连续性与无理数》中阐述了他的思考:“直线上的点的个体比之有理数域中的数的个体要丰富无限倍。所以,想用算术的方法探求直线具有的各种性质,有理数域是不够用的。如果数域需要具有如直线那样的完备性,或者说具有连续性,则绝对需要创造出一种新数以改进此工具。”戴德金所指的新数就是无理数。有了无理数就可以填充数轴上的空隙。戴德金写道:“若把直线看作具有完备性、无空隙、连续性,则有理数域和直线比较起来,是有很多空隙的,也是不完备和不连续的。那么,直线的连续性体现在什么地方呢?我思考的结果是:我们已经注意到了直线上的每一点都将直线划分为两个部分,其中一部分的所有点都在另一部分所有点的左边。我发现,连续性的精髓在其逆命题中,就是说,如果直线上所有的点分成两组,使一组中的每一点都在它组中每点的左边,那么,存在唯一的点,它将线上的一切点划分为这样两组,也就把直线切割成两个部分。”

是什么东西使数轴具有连续性,数轴连续性的真正原因是组成它的点的无穷致密性,即在数轴上的任意两个点之间,总能找到第三个点。而戴德金通过反向思维,没有把连续性的焦点放在无穷致密性上,而是放在相反的性质上,可分性。这就是著名的戴德金分割理论。

设想用一把锋利无比的刀,猛地砍向数轴,会发生什么情况呢?这一刀应当砍在数轴上的某一点上,否则就会砍在空隙里。如果是这样,数轴还能叫无缝连接的吗?如此细的数轴被斩为两截,问题是:数轴上的切割点在左边还是右边呢?我们只能说,不在左边,就在右边。这样一想,数轴的连续性就归结为一个直观而简单的事实:不论从什么地方切割,切割的地方总有一个点。

“戴德金分割”是说,有理数的一个分割确定一个实数。如果分割不产生空隙,这个实数也许是有理数;如果有空隙,也许是无理数。这样问题就很简单,把有理数之间的缝隙用无理数都填上,数轴就连续了!说白了,实数就是有理数的分割。从某种意义上说,戴德金的实数是独立于任何空间和时间直觉的人类智力的产物。

无理数是真正的“连续性的奥秘”,对数轴进行分割有助于定义无理数。每个有理数都对应一个分割,但不是每个分割都对应一个有理数。戴德金从数轴被无理数划分成的两个集合的性质出发,清楚地建立了无理数的定义。

戴德金分割完全可以用有理数来定义无理数。这是一个百分之百严格演绎的实数理论。这个定义,用自然语言来说,让一个无理数是一个分割对应的点的值。这个分割把数轴分成两个完备的集合。正是这个定义建立了连续统,即所有实数的集合,并把有理数轴变成了实数轴。对于传统数学家来说,无理数的问题涉及诸如线、面和体之类的几何量。而戴德金的全部工作是摆脱几何直觉,使分析完全基于算术。戴德金肯定地认为,数不是由时间和空间的感觉得来,而是“一种纯粹思维规律的直接产物”。有了数,我们才有时间和空间的精确概念。戴德金说:“对我来说,分析算术化更优美的地方是,人类不需要任何可测量的概念,仅仅通过简单的思维步骤的有限系统,就能先见之明地造出纯粹连续的数域。”

在数学史上,1872年是重要的一年,三位德国伟大的数学家,戴德金、康托尔和魏尔斯特拉斯不约而同地提出了实数理论。实数理论的核心问题,就是怎样利用有理数概念去定义无理数的问题,从而完整地解决连续、无限的基本问题。

5 整体与部分相等:疯了,无穷大可计算

亚里士多德的“潜无穷”思想对以后2000年里在数学上处理无穷大的思考方式产生了非常负面的影响,这种影响直到19世纪。1831年,大数学家高斯说:“我反对把一个无穷的量作为一个现实的实体来使用。这在数学中是绝不允许的,数学中的无穷大只是一种叙述的方式。用这种方式,我们可以正确地说某些比值可以非常接近于一个极限,而其他的无穷大则允许没有界限的增长。”这段话清楚表明,自亚里士多德以来数学家们认同其对无穷大划分为潜无穷和实无穷的思维范式。

第一位认真思考实无穷的科学家是伟大的伽利略。他想,自然数的全体是存在的,它们组成一个实在的无穷。伽利略考虑两个实无穷,一个是全体自然数(1,2,3…)构成的实无穷集合,另一个是全体偶数(2,4,6,8…)构成的实无穷集合。伽利略问了自己一个问题:是自然数多,还是偶数多?一方面,似乎应该是第一个较大,因为它不仅包含第二个集合中所有的数,而且还包含其他的奇数。但另一方面,对于第一个集合中的每个数,在第二个集合中都有一个确定的数与之对应。对于第二个集合中的每个数,在第一个集合中也有一个确定的数与之对应。按照两个集合中这种一一对应的关系,第一个集合应该与第二个集合一样大。在证明这个结论时,伽利略表现出了一个显著的重点转变,因为他没有像亚里士多德那样,从量的角度考虑无穷大,而是像柏拉图那样,把注意力集中到作为数或者集合的无穷大上面。但是,伽利略通过一一对应发现“部分与整体相同”时,他没敢再往下想,得出结论说:“无穷量和无理数在本质上对我们来说是不可理解的。”

↑ 伽利略通过一一对应发现自然数集合和正偶数集合“部分与整体相同”时,他没敢再往下想。到了康托尔时代,他没犹豫就认定,由于满足一一对应,所以它们是相等的。

在高斯发表了反对无穷大的言论之后,过了半个多世纪,德国数学家康托尔说,无穷大也可以计算!这彻底颠覆了人们对无穷大的认识,是范式革命!当康托尔把无穷集看成一个可以被人的心智思考的整体时,他的与常识相反而又在逻辑上可靠的结论,就打破了长久以来的思维定式,两千多年来一直被亚里士多德压制的“实无穷”终于名正言顺地登上历史舞台,让人们大开眼界。

康托尔曾提出这样的问题:一个线段上的点与一条无穷长的直线上的点一样多吗?一个平面上的点能和一条线上的点一一对应吗?在直觉上,答案似乎很明显是“不能”,证明它似乎显得多此一举。但是,康托尔经过几年的思考和探索,利用他著名的“对角线法”解决了这个“无聊”的问题。他的答案是:“能”。康托尔在1874年发表的论文,证明了一条线段上的点要比自然数多;不同长短的两条线段上的点也是一样多;线段上的点和平面上的点以及立体空间上的点一样多!这是他最重要的贡献。这个结论是两千多年来经常谈到无穷的思想家们想都没有想过的,而康托尔却给了这个事实以简明清晰的论证。

↑(1)线段AB的点与半圆CD的点一一对应,证明这条线段与这个半圆有一样多的点。(2)这个半圆的点现在与整条直线的点一一对应,所以,一条有限的线段与一条无限的直线有正好相同数目的点!为什么在康托尔之前无人得到这个发现?这说明我们把一条直线看作是由很多物理上的点组成这个观念,在本质上是错误的,物理上的点与数学上的点是完全不同的。

康托尔是从建立明确的无穷集的定义入手而获得成功的。一一对应,是人们认识事物间数量关系的最基本的方法。什么是无穷集呢?康托尔认为,可以和自己的某一部分之间建立一一对应的集合叫无穷集。无穷集合的最基本特性是它能够与其自身的真子集一一对应。事实上,康托尔正是使用这个事实本身作为无穷集的定义,这是有史以来首次以一种清晰而精确的方式定义这个概念。也就是说,“一样多”的唯一意义是“可以一一对应”。比较两个无穷集的大小,设法建立两个集合元素间的一一对应;能建立一一对应,就是一样多。这个结论彻底颠覆自古以来固有的观念。亚里士多德的整体论思想归结为“整体大于它的各部分之和”,康托尔的结论是“整体与部分相等”。这就是康托尔提出的惊世骇俗的观点,却是现代数学实数理论的基础。

康托尔在1874年获得的历史性发现是:尽管有理数具有稠密性,但它们是可数的。有理数是可数的这一发现违反我们的直觉,他证明了一条直线上的点和一个平面上的点,或者多维立体空间上的点之间存在着一一对应。康托尔对自己用一一对应导致的结果惊愕不已。他在1877年给戴德金的一封信中写道:“我看到了它,却不敢相信它。”最终,他还是信了。康托尔决定给所有可数集一个标记——ℵ(Aleph,阿列夫),这是犹太人希伯来语字母表的第一个字母,也有上帝绝对无穷大的意味。

如果有理数集合是可数的,人们开始推测可能所有无穷集都是可数的。然而,康托尔却证明有一些集合非常稠密以至于无法数,这种集合中的一种是处在一条无穷直线上的点的集合,这些点又对应于我们的实数系统。1873年底,他已经成功证明了实数集不能与自然数集一一对应,它是“不可数的无穷”。实数集合不仅是良序的、稠密的,而且是完备的。一个集合既是良序的又是完备的,康托尔给这种集合取名“连续统”。实数集就是连续统。康托尔提出的连续统假设标志着集合论的诞生。同时,不同规模集合的观念形成了。用通俗的话说,就是数轴上任何一点,都可以指定一个唯一的实数与之对应;反过来,任何一个实数都可以用唯一的方法以数轴上的一点来表示。这就是有名的“戴德金-康托尔公理”。康托尔首先在数学中引进了包括有理数和无理数的所有实数集合的思想。他实际上证明了无穷是无穷的。有一个无穷,就有一个更大的无穷。具体地说,任何一个无穷集,它的所有子集的数目总比它的元素多!就这样,康托尔的理论直接证明,潜无穷实际上依赖于一个逻辑上优先的实无穷,实无穷的集合是可以理解和计算的。

康托尔最终发现了芝诺悖论的奥秘,不仅发现,还进行了证明。数轴显然是无限长的,包含无穷多个点。即使如此,在0至1区间内的点却和整个数轴上的点一样多!无限长的数轴上有无穷多个有理数,这些数在数轴上是无穷密的!对任意给定的有理数的任意两个有理数之间总存在第三个有理数!虽然如此,康托尔证明无穷多的有理数联合起来也只是数轴的无穷小的一部分,基本上说就是什么都没有!就是说,有理数所占据的数轴长度的总百分比是零,也就是空、无!因为实数包括有理数和无理数,如果有理数可数,那么实数的不可数意味着无理数也是不可数的。这就意味着,由于一些点对应于无理数这一事实,在实数直线上所留下的“空隙”实际上比有理数的“非空隙”要多得多!这是我们有限的直觉难以接受的。事实上,可以在数学上证明,把一根针随机扔到数轴上,它们击中一个有理数点的概率是零!反过来说就是,在任何种类的连续的直线上,大量的点对应的是无理数。所以,实数轴才真的是一条直线!而所有有理数组成的数轴,虽然看起来是无穷密的,但实际上99.9999…%都是空的!这就是康托尔证明的。

在数学的离散和连续现象之间的最重要的区别是前者可以只用有理数来表征,而连续则需要所有的实数,也就是无理数。因此,当康托尔引入实无穷集时,就与过去最伟大的数学家们所固有的观念背道而驰。他意识到自己正在和前辈们彻底决裂。1883年,康托尔说:“我使自己同普遍的关于数学中无穷的观点和经常被保持的关于数的本质的观点处于敌对位置。”到了1873年,他不仅主张把无穷集合看成一个存在的全体,还开始对它们加以分类并计算。

亚里士多德说的“整体大于部分之和”,这符合我们的直觉。这个观点也统治了人类的思维两千多年。在探索无穷的数学历史中,康托尔的实无穷理论告诉我们,整体与部分之和相等!这虽然违反我们的直觉,却是千真万确的数学真理。这对当时的思想家来说很荒谬,也促使他们抵制有关无穷集的任何成果。康托尔的无穷集合论激起了激烈的抗议。

集合论一经问世,立即遭到当时一批有名的数学家的猛烈进攻。当时的学界领袖,19世纪最著名的数学家庞加莱认为,无穷集合论是病态的。庞加莱评论说:“后人将把康托尔的集合论当作一种疾病,而人们已经从中恢复过来了。”

攻击得最为激烈,也最为长久的却是康托尔的导师——比他年长22岁的直觉主义代表人物之一,著名数学家克罗内克。克罗内克只承认“潜无穷”,他相信只有整数在数学上是真实的。因为只有它们是“绝对直觉的”,也就是说,小数、无理数、无穷集合都是数学上的怪胎。他认为只有他研究的数论及代数才最可靠。克罗内克的名言是“只有整数是上帝创造的,其余的都是人类的工作”。康托尔为自己的工作辩护,他声称自己是一个柏拉图主义者,相信存在一个独立于人的客观世界。康托尔在1885年就宣称纯数学可以归结为集合理论。

最初,无论是康托尔还是克罗内克,都认为他们的冲突在某种程度上是关于数学观点正确的争论。但是,克罗内克对康托尔的研究对象和论证手段都表示强烈反对。他拒绝接受无穷集和超限数。他认为,康托尔在这一领域的工作不是数学,而是玄学。由于德国柏林是当时的世界数学中心,克罗内克又是柏林学派的领袖人物,所以他对康托尔及其集合论的发展阻碍非常大。克罗内克认为,康托尔关于集合论的研究工作简直是一种非常危险的“数学疯病”,并在许多场合下,用各种刻薄的语言,对康托尔冷嘲热讽达十年之久。康托尔经受不住克罗内克等人连续粗暴的围攻,精神渐渐崩溃了。这期间,康托尔决定证明英国文艺复兴时期的哲学家弗朗西斯·培根是莎士比亚剧本的真正作者。他患上了严重的抑郁症,整日极度沮丧,惶惶不安,最终在精神病院默默死去。英国科学史家贝尔在回顾这段令人痛惜的往事时说,克罗内克认为集合论的出现是一种数学疯病,然而被送进精神病院的并不是集合论,而是康托尔。克罗内克的攻击实际上打垮了这一理论的创造者。

克罗内克基于对学术信仰的坚持,捍卫的不是学术的尊严,而是一个时代的无知。他的反对不仅对事,也对人。德国数学家康托尔的遭遇让人扼腕痛惜。

克罗内克和康托尔之间的斗争不是传统和创新的数学意识之间的冲突,而是新旧数学范式之间的竞争。克罗内克不是数学上的传统主义者,为了反对当时的无穷和无理数、超越数和超限数等观念,他被迫在一个激进的新基础上构建一门新数学。正如康托尔成为形式主义运动的先驱一样,克罗内克的成果预示着20世纪直觉学派的诞生。两个派别都希望数学变得更严密,但在如何达到这个要求上,他们有很深的分歧。

时间证明,康托尔的新观点和新理论对数学分析、函数理论、拓扑学和非欧几何的进一步发展有极其重要的作用。从普遍意义上来说,要对数学有更基本的理解,康托尔的理论是个重要基础。形式主义创始人希尔伯特认为,深入研究无穷大十分必要。他说,其他任何一个问题都不曾如此深刻地影响人类的精神文明,其他任何一个观点都不曾如此有效地激励人类的智力。他断言:“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱逐出去。”他在1926年评价康托尔的工作说:“这对我来说是最值得钦佩的数学理智之花,也是在纯粹理性的范畴中人类活动所取得的最高成就之一。”

罗素称康托尔是19世纪最伟大的智士之一。罗素在1910年说:“解决了先前围绕着数学无限的难题,可能是我们这个时代值得夸耀的最伟大的工作。”戴德金和康托尔都是柏拉图主义者,他们相信数学的世界不是像可感知的世界那样是经验性的。戴德金说:“我完全独立于空间和时间的概念或直觉来思考数的概念,认为它是一个人思维规律得出的直接结果。”康托尔说:“数是人类心灵的自由创造物。”康托尔和戴德金在数学史上几乎同时出现,标志着这正是无穷集合论的时代。

6 反驳芝诺:芝诺的意义

芝诺提出的悖论论证方法为数学和科学的发展做出了巨大的贡献。芝诺悖论的历史,就是连续性、无穷大和无穷小这些概念的历史。芝诺悖论在历史上的重要性,是怎样评价也不过分的,它们促使希腊人对时空有了新的认识。芝诺悖论引发了几乎整个关于时间、空间和无限的理论探讨,这些理论从他那时起直到今天,一直在被人们发展着。

美国数学史家贝尔说,芝诺毕竟曾“以非数学的语言,记录下了最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难”。芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来,并进行了辩证的考察。近代德国哲学家黑格尔在《哲学史讲演录》中表示,芝诺主要是客观而辩证地考察了运动。他称芝诺是“辩证法的创始人”。

芝诺所指出的矛盾,与其说是与运动的自身有关,不如说是与我们头脑中所虚构的运动有关。芝诺悖论所揭示出的困难,显示了语言的十足含糊性。这种在悖论中诉诸感官经验而非推理的情形,无疑是主要障碍。数学家只要承认他所创造的符号世界不等于他所感觉的世界,那就可以处理这些含糊性了。黑格尔在《哲学史讲演录》中的“芝诺篇”指出,芝诺所论述的连续统(概指时间、空间和反映时空本质的运动连续统)都是具有“点积性”与“连续性”的双向性结构物。在概念上,点积性与连续性是互为否定的,因为点积性是突出表明了元素间(即位置点之间)的区别性,而连续性恰恰是抹杀了点与点的区别性,甚至无视点的单独存在性。

在“芝诺篇”中,黑格尔解释了产生芝诺悖论的根源:那就是因为只把连续统(时空及运动)的“点积性”——一种抽象孤立的特定性质——作为整个有效环节的缘故。他说:“造成困难的永远是思维。因为思维常常把一个对象在实际中紧密联系在一起的诸环节彼此区分开来。”事实上,连续统本来就具有连续性与点积性相互结合在一起的环节,而概念思维对其强行分离,扬弃了实际中存在的连续性环节,只把抽象出来的单纯的“点积性”作为整个有效的单一环节来考虑,这样就不可避免地产生悖论。

芝诺的目的是为证明“运动不存在”,用现代术语解释芝诺的思路,就是“如果运动存在,那么就存在无穷集合;因为无穷集合是荒谬的,所以运动不存在”。芝诺悖论只有通过时空的现代数学概念和无穷集合理论,才能给出令人满意的回答。二分法和阿喀琉斯悖论取决于相关集合是否完备的问题,飞矢悖论根据瞬时速度或者导数的定义可以完美回答,而近代数学仅仅根据建立在导数概念基础上的思想就已经回答了这两个问题。

在“阿喀琉斯永远追不上乌龟”的悖论中,龟跑过的点与阿喀琉斯跑过的点一样多。因为在赛跑中这段时间的每一时刻,他们各自要占据一个确切的空间位置。因此,龟所通过的无穷的点的集合,与阿喀琉斯所通过的无穷的点的集合,两者之间有一种一一对应的关系。但是,如果说阿喀琉斯必须跑过更长的距离才能赢得比赛,所以他必须比龟跑过更多的点,则是错误的!因为康托尔的集合理论明确地告诉我们:任意两条线段,无论它们的长度如何,都具有相同数量的点!

芝诺悖论的问题并非阿喀琉斯将什么时候或者在什么地方追上乌龟,而是他怎样追上乌龟。芝诺悖论让人的思维认为:无穷个无穷小相加(也即乌龟每次都在阿喀琉斯前边,但这个间距越来越小)=无穷大(无论跑多远)!事实上,上面的等式是错误的!学过极限的人肯定知道,在这里无穷个无穷小相加等于一个有限值(阿喀琉斯追上乌龟的距离),数学上称为极限,并非无穷大(无限远),所谓无穷大只是人们思维想象的结果。但是,极限概念要等到18世纪才开始出现,19世纪才严密化!由于没有“极限”的范式思维,芝诺悖论让人类困惑了两千多年!

在“飞矢不动”悖论中,芝诺说,在紧邻的下一个时刻,它将处于另一个位置。那么,什么时候这支箭从一个位置飞到另一个位置呢?答案是:没有下一个时刻!因为在任何两个时刻之间,其间的其他时刻数量是无限的!实际上,微积分以极限为基础的导数理论可以完美地解释“飞矢不动”悖论。

从数学上完整地推翻芝诺悖论的是无穷集合之父康托尔的无穷大理论。康托尔仅仅使用有序、集合、可数、一一对应等就成功地解决了关于空间、时间、运动的本质的一些使人困惑的问题。正是康托尔的无穷集合理论解决了芝诺悖论。罗素称赞他“确定无疑地解决”了二分悖论背后的深刻问题。

罗素评论芝诺悖论说:“从芝诺时代到我们今天,每一代最杰出的知识分子都反过来攻击这类问题,但宽泛地说,一无所获。然而,在我们所在的时代,三位杰出的人,魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔,不仅推进了这些问题,而且完全解决了它们。这些解释,对熟悉数学的人来说,是如此清楚以致不再有任何最轻微的疑问或困难,在无穷大、无穷小和连续性这三个问题当中,魏尔斯特拉斯解决了无穷小的问题,其他两个问题的解答由戴德金开始,最后由康托尔完成。”

数学史上的三次危机都与芝诺悖论讨论的问题有关。第一次危机的结果,是严格的实数理论的建立,数学家回答了“什么是连续性”这个古老的哲学问题。第二次危机的结果,是微积分的严密基础的建立,数学家掌握了描述运动与变化的有效方法,彻底弄清了“芝诺悖论”,回答了“运动是怎么回事”这个古老的哲学问题。第三次数学危机,涉及“数学自身的基础是什么”。在这次危机产生前后,一些卓越的数学家卷入了关于数学本质问题的激烈争论之中,形成了直觉主义、逻辑主义和形式主义三大数学流派。

如果按牛顿的思维范式反驳芝诺,应该是这样的:空间和时间是绝对的,不可切割。如果按爱因斯坦的范式反驳芝诺:空间和时间是一体的,切了空间也就切了时间,切了时间也就切了空间;如果非要切,请以光的速度来切!

7 导数:探寻永恒的瞬间

我们知道,速度就是距离与时间之比的变化率,即速度是位置的变化率。在处理变量,也就是连续变化的量时,必须将变化(change)和变化率(rate of change)两者区分开。变量的变化率,强调的是它们正在变化的这一事实。在变量的变化率中,我们还必须将下面两个概念区分开:平均变化率和瞬时变化率。你可能会想到芝诺悖论的飞矢不动说,在一个瞬间,没有这样的速度,因为在一瞬间没有消耗时间,因此不可能有运动。真实情况是,比如每个驾驶汽车的人,在每个瞬间都有一个真实的速度,这是确定无疑的。一般情况下,使用平均速度这一概念就可以了,但当物体以变速运动时,首先就产生了处理瞬间速度的问题。平均速度人们很容易理解,即距离除以时间。但是,人们也清楚地知道,用求平均速度的方法,得不到瞬时速度,因为在一瞬间,物体运动的距离是零,所花的时间也是零,而零除以零是没有意义的。所以,必须找到一种非同寻常的方法,才能成功定义和计算出瞬间速度。当时的科学家们缺乏对瞬时速度的精确清楚的认识,除此之外,也缺乏计算瞬时速度的方法。

人们早已意识到,客观世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始终都在运动和变化着,因此在数学中引入了变量的概念后,就有可能把运动现象用数学来加以描述了。人们发现,瞬间速度是,当时间间隔趋于零时,平均速度所趋近的那个数值。这样,人们注意到了,瞬时速度不是由距离除以时间的商来定义的,而是引入了平均速度趋近一个数值的思想。人们通过把定义和计算瞬时速度的方法推而广之,可以利用计算在某一时刻的距离与时间变化率相同的数学过程,去计算一个变量对另一个变量的变化率。例如,距离对时间的瞬时变化率是速度,速度对时间的瞬时变化率是加速度。牛顿第二运动定律是物理学中最基本的研究基础,就是一个关于变化率的问题。其内容是:作用于一个物体上的力,等于物体的质量乘以物体运动的加速度。当力已知时,这条定律就成了关于加速度,即关于速度对时间变化率的命题。与瞬时变化率有关的表达式,通常写成方程的形式,它们被称为微分方程。正是通过求解一个著名的微分方程,牛顿很轻易地推导出了开普勒定律。

↑ 导数的几何意义:割线PQ的斜率为平均变化率,当自变量的Δx趋于零时的平均变化率即为P点的瞬时速度,即过该点切线PT的斜率。割线PQ的斜率tgβ=Δy/Δx;切线PT的斜率。

当时,为了处理瞬时速度概念,数学家们已经将空间和时间理想化,正是通过这种理想化,数学不仅仅产生了一个瞬时速度的概念,而且给出了公式,一个变量对另一个变量的瞬时变化率称为导数。导数的概念可以由这样一个物理概念提出:某段无穷小时间内的速度。导数的本质即瞬时变化率,而瞬时变化率是增量的极限。导数的概念在其发展历史上,是夹在速度这个科学上的现象和运动这个哲学上的纯理性概念之间发展的。导数的几何意义体现在曲线上的割线运动,而割线运动时也有一个平均变化率,当对这个平均变化率取极限时,割线就变成了切线,这时割线的平均变化率就是割线与切线重合时的瞬时“速度”,也就是切线的斜率。所以,导数的几何意义就是曲线在某一点的切线的斜率。

刚接触微积分的人会发现,自己的想象力和直觉被局限于瞬间、点和在某个时刻的速度这些抽象概念之中了。19世纪初,导数概念成为基本原理,随着对数和连续性的严格定义,到19世纪后半叶,一个坚实的基础就此完成。为了对连续性的模糊、本能的感觉做出解释,数学家们付出了2500年的努力,最后终于凭借精确的概念达到顶峰,而这些概念的逻辑性定义却表现了超越知觉经验世界的推断。直觉,或者对表面缺乏足够表达的少许经验修定的直接认识,由于深思熟虑研究的结果,终于让位于严格定义的抽象精神概念,科学和数学已经发现后者是有助于思想简洁的宝贵工具。

微积分可以定义为这样一门学科,它处理的是一个变量对另一个相关变量的瞬时变化率概念,这个概念具有各种各样的应用。它可以使我们定义、计算成千上万种具有重要意义、有用的一个变量相对于另一个与其数值有关的变量的变化率。

17世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国的牛顿和德国的莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。虽然这只是初步的工作,但他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题)。

从距离(作为时间的函数)求瞬时速度的问题以及它的逆问题,不久就被看出是计算一个变量对另一个变量的变化率的问题以及它的逆问题的特例。假定给出了一个变量对另一个变量的变化率,那么反过来,求出关于这两个变量公式的逆过程会发生什么呢?这就是牛顿和莱布尼茨的惊天大发现:微积分基本原理。

如下图:给x一个无限小的增量o,称为x的瞬(moment),面积Z相应也有一个无限小的增量oy。1669年,牛顿通过研究任意一条曲线下的面积发现,原来面积的变化率正是曲线本身,即通过求曲线下面积的变化率的逆过程,可以得到曲线下的面积。

如下图:过去被看成无限小面积之和的面积能够通过一点的变化率由微分(求导数)的逆过程得到,这一事实就是我们现在所说的微积分基本定理。曲线方程y=f(x);曲线下面积F(x)=∫f(x)dx;面积F(x)的变化率(导数=切线的斜率,即曲线函数本身)F(x)=f(x);

所以,有了微积分基本定理:

8 消灭无穷小:极限理论

微积分的核心概念是导数,前文提到导数的本质即为瞬时变化率,而瞬时变化率是增量的极限。尽管牛顿、莱布尼茨在微积分技术方面做出了具有伟大意义的开创性工作,但他们在为这门学科确定严格的基础方面却没有什么贡献,特别是对极限的严格定义方面模糊不清。极限理论是微积分的基础,是最重要的基础,然而也是最后才得到完善的。在数学史上,极限思想的根源起初是从寻找圆的面积当中获得启发的,极限概念从希腊的穷竭法开始逐渐发展。极限的概念在数学分析中大受欢迎的原因之一就是,它和古老的潜无穷思想符合得非常好。虽然极限概念的轮廓早在古代便已出现,但这个概念的严格阐述在19世纪之前还没有完成。

在数学史上,极限概念缺少精确的表达形式,因为它是建立在几何直觉基础之上的。微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前3世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想。对作为微分学基础的极限理论来说,早在古代就有比较清楚的论述。比如,我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中,记有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣”。这些都是朴素的,也是很典型的极限概念。但是,希腊人从未试图把曲线定义为被内接或者外接图形不断趋近的终点或者极限,“极限”的概念需要运动的思维范式!

在18世纪时,数学家达朗贝尔曾批评牛顿用速度来解释导数,因为某一瞬时速度并没有清楚的概念,而且这里还引入了一个非数学的运动概念。达朗贝尔在为《百科全书》所撰写的条目“极限”中,明确认为:当一个量以小于任何给定的量逼近另一个量时,可以说后者是前者的极限,尽管前者绝不会超过后者……

直到19世纪初,法国伟大的数学家柯西(1789—1857)揭开了数学严格化运动的序幕,并产生了深远的影响。他成功地表达出了正确的极限概念,提出了一系列关于极限的定理来证明微积分的合理性。极限理论成为微分学真正形而上学的基础。柯西决定在数的基础上建立微积分逻辑,而不是在几何学的基础上。柯西明智地把微积分建立在极限的概念上。柯西在其《分析教程》中给出极限定义时,使这个概念脱离在所有与几何图形或者几何量相关之外。他说:“如果一个变量的连串值无限地趋向一个固定量,使之最后与后者之差可任意地小,那么最后这个固定值就被称为所有其他值的极限。”

极限成了清楚而确定的算术概念而非几何概念。他小心翼翼地定义和建立起微积分的基本概念:函数、极限、连续、导数和积分。柯西认为把无穷小量作为确定的量,即使是零,都说不过去,它会与极限的定义发生矛盾。在极限这个算术定义基础上,柯西接下来继续定义那个难以捉摸的术语——无穷小。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量,因此本质上它是变量,而且是以零为极限的量。柯西认为:“如果一个变化量的数值无限减少,以至于朝着极限零收敛,那么这个量就成为无穷小了。”至此,柯西澄清了前人的无穷小的概念。微积分的发展从此进入一个新的阶段。

极限概念揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系。从极限的观点看来,无穷小量不过是极限为零的变量。这就是说,在变化的过程中,它的值可以是“非零”,但它变化的趋向是“零”,可以无限地接近于“零”。在早期的微积分中,对于无穷小量的认识,带有形象直观的局限性,没有极限的明确概念,因此不能认识它与有限的辩证关系,时而把它看作一个固定的有限的很小的量;时而把它看成孤立的似零非零的“无穷小”。总之,不能从变化趋向上说明它与“零”的内在联系,从而导致逻辑上的矛盾,所谓“无穷小的幽灵”即由此而来。确立了极限、无穷小和无穷大的概念之后,柯西就能够定义微积分的核心概念:导数。柯西使导数成为微分的核心概念,然后“微分”就可根据导数来定义。柯西给予了导数和微分概念一种形式上的精确性。就这样,柯西使微积分的基本概念得到了严密的阐述。由于这个原因,柯西通常被看作近代意义上的严格微积分的奠基者。通过极限概念精确的定义,他建立了连续性和无穷级数的理论以及导数、微分和积分的理论。

柯西的工作激励了他人,更多促使分析严密化的工作,主要的成就归功于另一位被誉为“现代分析之父”的德国数学大师魏尔斯特拉斯(1815—1897),他第一个给出了完全严格的在哲学上没有污点的极限理论。魏尔斯特拉斯非常清楚直觉是不可信的,所以他尝试着尽量以严密和精确的形式作为他的分析学基础。他希望把微积分只建立在数的观念上,由此将它完全与几何分开。魏尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献,是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析严格化潮流中,以ε-δ语言,系统建立了数学分析的严谨基础。在魏尔斯特拉斯的分析体系中可以看出,无穷小不是一个确定的数,而是反映变元或函数的一种状态;无穷小也不是零,但它的极限是零。魏尔斯特拉斯的工作基本上完成了分析的算术化,加上实数理论、集合论的建立,从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来。这使数学走向了理性,微积分走向了理论,第二次数学危机基本解决。

德国数学家希尔伯特评论说:“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力,为数学分析建立了坚实的基础,通过澄清极小、函数、导数等概念,他排除了微积分中仍在涌现的各种异议,扫清了关于无穷大和无穷小的各种混乱观念,决定性地克服了起源于无穷大和无穷小概念的困难。今天,分析达到这样和谐、可靠和完美的程度,本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动。”

极限理论成为微积分的坚固基础,才使微积分进一步发展。现在我们绝大多数人在学校都是以此为基础来学习微积分的。

对连续性、无穷小量和微积分来说,芝诺悖论中的“飞矢不动”与之密切相关。把瞬时速度定义为平均速度当时间趋于零时的极限,就在瞬时速度与平均速度之间建立了联系。从哲学上,这最终否定了芝诺“飞矢不动”的悖论。在这一瞬间,尽管物体占据了一个确定的位置,但不等于说静止了,因为我们能实实在在地求出它的瞬时速度来!具体速度都知道了,还能说飞的箭不动吗!

对于芝诺的飞矢不动悖论来说,经典微积分能够准确处理亚里士多德认为无法处理的东西。芝诺所谈论的这个瞬间,至少在数学上,不是某种长度为零的东西,而是一个无穷小量。

飞矢悖论实际上是一个形而上学的悖论,准确地说,是微积分所无法给出的对无穷小量的一个准确哲学解释。

近代数学分析对付芝诺悖论的方法是纯粹技术上的。现代数学课上,老师会说前提“在每一个瞬间,箭都是静止的”是错误的,因为箭在瞬间时刻的速度能够作为“收敛到零但又始终包含瞬间时刻的一系列嵌套时间段上的平均速度的极限”,这个解答是魏尔斯特拉斯式的,正是他提炼的极限概念使得微积分可以处理与无穷小量以及芝诺式的无穷分割相关的问题。魏尔斯特拉斯的分析能够真正解释二分悖论,是百分之百算术的,没有无穷小、类比或任何芝诺使之层出不穷的自然语言的模糊性。毫不夸张地说,在魏尔斯特拉斯之后,二分悖论只是一个文字游戏。他的努力终于使分析从人们久已质疑的完全依靠运动直觉理解和几何概念中解放出来。他把无穷小量这个数学幽灵从数学王国中赶了出去,使无穷小量只是数学哲学史中一个曾激发无数灵感的一个概念。

微积分的精髓就是,增量无限趋近于零,割线无限趋近于切线,曲线无限趋近于直线,从而以直代曲,以线性化的方法解决非线性问题,这就是微积分的精髓所在。从牛顿、莱布尼茨开始创立的微积分开始,到与现代被认为是使人满意的微积分之间,是由数百名伟大的数学家和名不见经传的数学家们的工作逐渐补充完善的。经过了大约150年,才产生了逻辑上完备的微积分。

参考:朱伟勇,朱海松《时空简史:从芝诺悖论到引力波》

-End-